自分で似たようなものを作ってしまいました。
Gmail/Outlookの通知が届くと、Mail.appがメールをフェッチします。
（＝メールアプリの通知が出せるようになります）
How to use:
- Gmail/OutlookアプリをAppStoreからインストールします。
- Gmail/Outlookアプリでメールを受信する設定をします。
- 設定アプリから、Gmail/Outlookアプリの「通知を許可」をオンにします。
この際、他の項目はオフで構いません。（そうすると二重に通知が出ることを防げます） - 設定アプリから、同じアカウントでメールを受信するように設定します。
この際、どのアカウントでも構いませんので、最低１つは自動フェッチもしくはプッシュで受信するように設定してください。（メールアプリを裏で起動しておくため）
Gmailアプリもよいのですが、 標準メールはVIPが使えたり、アカウント間でメッセージを移動できたり、新規作成時に送信元アドレスを自動で選択してくれたりと、私はたいへん便利に使っています。
そのような使い方をされている方にご利用いただければ幸いです。